Selasa, 20 Januari 2015

Distribusi Variabel Acak Kontinu

Pada penulisan Keenam tentang Statistika Elementer ini, penulis akan memberikan bahasan mengenai Distribusi Variabel Acak Kontinu kepada para pembaca untuk menambah pemahaman dan contoh soal mengenai Variabel Acak kontinu dan fungsi distribusinya. Pada penulisan ini, Distribusi Variabel Acak Kontinu yang diberikan adalah Distribusi Normal dan Hampiran Distribusi Normal terhadap Distribusi Binomial. Sebagai tambahan, disisipkan teori tentang Hampiran Distribusi Poisson terhadap Distribusi Binomial.


Variabel Acak Kontinu.

Variabel Acak adalah suatu fungsi yang memetakan setiap anggota Ruang Sampel S ke bilangan Real[3]. Dalam statistika, variabel acak disimbolkan dengan huruf-huruf kapital misalkan X, Y, Z, dll. Variabel acak yang mampu menjalani bilangan bulat adalah Variabel Acak Diskrit, sedangkan variabel acak yang mampu menjalani bilangan real adalah Variabel Acak Kontinu. Misalkan X adalah variabel acak kontinu maka fungsi kepadatan probabilitas (probability density function, PDF) dapat didefinisikan sebagai

Dengan kata lain, fungsi fX(x) adalah fungsi distribusi probabilitas dari X untuk variabel acak kontinu. PDF dari variabel acak kontinu X harus memenuhi sifat-sifat berikut:

Misalkan X merupakan variabel acak kontinu maka fungsi kepadatan kumulatif (cumulative Density Function, CDF) dapat didefinisikan sebagai

Dengan kata lain, fungsi FX(x) adalah fungsi distribusi dari X untuk variabel acak kontinu. Jika fX(x) merupakan PDF dari variabel acak kontinu X, maka terdapat relasi antara PDF dan CDF, yaitu

Rumusan ini tidak dapat digunakan untuk distribusi variabel acak diskrit. Sebagai tambahan, mean dan varian dari variabel acak kontinu masing-masing adalah[1]


Distribusi Variabel Acak Kontinu.

Pada penulisan ini, diberikan distribusi variabel acak kontinu yang biasa digunakan, yaitu:

  1. Distribusi Normal
  2. Hampiran Distribusi Normal terhadap Distribusi Binomial

Distribusi Normal.

Distribusi Normal merupakan distribusi probabilitas kontinu yang paling penting dalam segala bidang Statistika. Distribusi ini memiliki karakteristik dari fungsi kepadatan-nya yang berbentuk kurva simetris menyerupai suatu lonceng, sehingga kurva Normal ini disebut sebagai kurva berbentuk lonceng (bell-shaped curve). Disamping itu, distribusi Normal juga disebut juga sebagai Distribusi Gaussian[2] yang mana hal ini diberikan sebagai penghargaan untuk Ahli Matematika Jerman Karl Friedrich Gauss (1777 – 1855) dalam membentuk fungsi distribusi Normal. Fungsi kepadatan probabilitas (PDF) dari variabel acak X Normal dirumuskan sebagai

Variabel acak X berdistribusi Normal dengan parameter mean μ dan varian σ2 yang mana PDF dari distribusi ini dapat diilustrasikan sebagai berikut.

Misalkan diberikan dua sampel data X1 ~ N(μ1 , σ12) dan X2 ~ N(μ2 , σ22) dengan:

  1. kondisi μ1 < μ2 dan σ1 = σ2, maka kurva Normal diilustrasikan menjadi
  2. kondisi μ1 = μ2 dan σ1 < σ2, maka kurva Normal digambarkan mengikuti
  3. kondisi μ1 < μ2 dan σ1 < σ2, maka kurva Normal diilustrasikan menjadi

Distribusi Normal memiliki kurva yang simetris membentuk suatu lonceng. Hal ini terjadi ketika nilai mean, median, dan modus dari data bernilai sama[1]; namun ketika kondisi ini tidak terpenuhi, distribusi data yang terbentuk akan miring kanan atau miring kiri.

Berdasarkan penyebaran data yang berdistribusi Normal[1], penyebaran 68% data pengamatan berada pada interval μσ sampai μ + σ; penyebaran 95% data pengamatan berada pada interval μ – 2σ sampai μ + 2σ; dan penyebaran 99,7% data pengamatan berada pada interval μ – 3σ sampai μ + 3σ.

Sedangkan, fungsi kepadatan kumulatif (CDF) dari variabel acak X Normal adalah

Penyelesaian masalah distribusi Normal dapat diselesaikan dengan mudah menggunakan Distribusi Normal Standar. Misalkan diberikan variabel acak X berdistribusi Normal dengan parameter mean μ dan varian σ2, maka variabel acak Z yang berdistribusi Normal Standar dengan parameter mean 0 dan varian 1 akan menghasilkan fungsi kepadatan probabilitas (PDF) sebagai

Sedangkan, fungsi kepadatan kumulatif (CDF) dari variabel acak Z Normal Standar adalah

Sebagai Contoh, Dari hasil survei satu komplek perumahan, biaya pengeluaran untuk konsumsi listrik rumah tangga adalah 400.000 rupiah perbulan dan standar deviasinya sebesar 30.000 . Jika biaya pengeluaran tersebut berdistribusi Normal, maka tentukan probabilitas:

  1. biaya pengeluaran untuk konsumsi listrik sebesar 375.000 rupiah.
    [P(X = 375.000) ?]
  2. biaya pengeluaran untuk konsumsi listrik maksimal 450.000 rupiah.
    [P(X ≤ 450.000) ?]
  3. biaya pengeluaran untuk konsumsi listrik diantara 300.000 dan 400.000 rupiah.
    [P(300.000 < X < 400.000) ?]

Penyelesaian:
Misalkan X adalah variabel acak yang menyatakan biaya pengeluaran untuk konsumsi listrik rumah tangga yang memiliki parameter μ = 400.000 rupiah dan σ = 30.000 . Secara teori, distribusi Normal dapat diselesaikan kedalam bentuk distribusi Normal Standar, sehingga:

  1. Untuk x = 375.000, perlu dilakukan transformasi kedalam bentuk Normal Standar.

    Jadi, P(X = 375.000) = P(Z = -0,833)

    Probabilitas biaya pengeluaran untuk konsumsi listrik sebesar 375.000 rupiah adalah 0,2820 .
  2. Untuk x = 450.000, perlu dilakukan transformasi kedalam bentuk Normal Standar.

    Jadi, P(X ≤ 450.000) = P(Z ≤ 1,67)

    Penyelesaian soal (b) diselesaikan dengan bantuan Tabel Normal Standar.

    Jadi, probabilitas biaya pengeluaran untuk konsumsi listrik maksimal 450.000 rupiah adalah 0,9525 .
  3. Untuk x1 = 300.000 dan x2 = 400.000, perlu dilakukan transformasi kedalam bentuk Normal Standar.

    Jadi, P(300.000 < X < 400.000) = P(-3,33 < Z < 0)

    Probabilitas biaya pengeluaran untuk konsumsi listrik diantara 300.000 dan 400.000 rupiah adalah 0,4995 .

Hampiran Distribusi Normal terhadap Distribusi Binomial.

Ada beberapa kasus dimana data X berdistribusi Binomial hanya dapat diselesaikan dengan pendekatan distribusi Normal. Jika ukuran sampel n besar dan p tidak dekat dengan 0 atau 1, melainkan nilai p lebih dekat ke nilai 1/2; maka persoalan distribusi Binomial dapat diselesaikan dengan menggunakan pendekatan distribusi Normal.
Teorema[2]:

Sebagai contoh, soal ujian pilihan ganda diberikan biasanya sebanyak 200 dengan ketentuan probabilitas banyaknya soal yang rumit adalah 40%. Hitung probabilitas terdapat maksimal 85 soal yang rumit. [P(X ≤ 85) ?]
Penyelesaian:
X = banyaknya soal yang rumit dalam soal ujian pilihan ganda.
Karena nilai n berukuran besar dan p mendekati 1/2, maka distribusi Binomial dapat dihampiri oleh distribusi Normal dengan µ = np = 200(0,4) = 80 dan σ2 = npq = 200(0,4)(0,6) = 48. Selanjutnya distribusi Normal diselesaikan kedalam bentuk distribusi Normal Standar, sehingga P(X ≤ 85) ini perlu ditransformasi kedalam bentuk Normal Standar, berikut.

dengan kondisi +0,5 adalah continuity correction. Hal ini berlaku pada hampiran distribusi Normal terhadap distribusi Binomial.
Jadi, P(X ≤ 85) = P(Z ≤ 0,79)

Probabilitas probabilitas terdapat maksimal 85 soal yang rumit adalah 0,7852 .


Hampiran Distribusi Poisson terhadap Distribusi Binomial.

Ada beberapa kasus dimana data X berdistribusi Binomial hanya dapat diselesaikan dengan pendekatan distribusi Poisson. Jika ukuran sampel n besar dan p dekat dengan 0 atau 1; maka persoalan distribusi Binomial dapat diselesaikan dengan menggunakan pendekatan distribusi Poisson dengan parameter µ = np. Teorema[2] :

Sebagai contoh, Perusaha memiliki klaim bahwa dari 1000 sekrup yang diproduksi terdapat 1 sekrup yang cacat. Hitung probabilitas banyaknya sekrup yang cacat kurang dari 7 pada sampel acak 5000 sekrup. [P(X < 7) ?]
Penyelesaian:
X = banyaknya sekrup yang cacat.
Karena nilai n berukuran besar dan p mendekati 0, maka distribusi binomial dapat dihampiri oleh distribusi Poisson dengan n = 5000, p = 1/1000 = 0,001 , dan λ = µ = np = 5000(0,001) = 5. Jadi, P(X < 7)

Probabilitas banyaknya sekrup yang cacat kurang dari 7 pada sampel acak 5000 sekrup adalah 0,8666 .



REFERENSI

[1] Bluman, A.G., (2012), Elementary Statistics: A Step By Step Approach, Eighth Edition, New York: McGraw-Hill.
[2] Walpole, R.E., Myers, R.H., Myers, S.L., and Ye, K., (2012), Probability and Statistics for Engineers and Scientists, Ninth Edition, Boston: Pearson Education.
[3] Lefebvre, M., (2006), Applied Probability and Statistics, New York: Springer.


<--DOWNLOAD_FILE_DISTRIBUSI_VARIABEL_ACAK_KONTINU-->


<--DOWNLOAD_TABEL:_DISTRIBUSI_NORMAL_STANDAR-->



Tulisan Sebelumnya ->Distribusi Variabel Acak Diskrit

Tulisan Berikutnya ->Distribusi Sampling I

0 komentar:

Poskan Komentar