Selasa, 17 Juni 2014

Pengantar Probabilitas

Pada penulisan Keempat tentang Statistika Elementer ini, penulis akan memberikan bahasan mengenai Pengantar Probabilitas kepada para pembaca untuk memberikan pemahaman dan contoh penerapan probabilitas dalam Statistika, meliputi: Percobaan Random, Probabilitas Klasik, Aturan-aturan dalam Probabilitas, Aturan Menghitung, Probabilitas Bersyarat, dan Aturan Bayes. Aturan Menghitung yang disajikan pada penulisan ini adalah Aturan Menghitung Fundamental, Aturan Permutasi, dan Aturan Kombinasi.


Pengenalan Percobaan Random.

Percobaan (eksperimen) merupakan Aktivitas yang dilakukan oleh suatu proses. Percobaan dibagi menjadi dua, yaitu:

  1. Percobaan Deterministik adalah suatu percobaan/aktivitas yang hasilnya sudah pasti, seperti contohnya: Matahari terbit dari Timur kemudian terbenam di Barat, Terjadi proses siang dan malam, Terdapat Satu hari sama dengan 24 jam, dll. Orang Statistika tidak bekerja pada percobaan deterministik ini karena aktivitas yang terjadi sudah pasti.
  2. Percobaan Random adalah suatu percobaan yang memiliki dua sifat, yaitu: semua hasil yang mungkin terjadi dapat diperkirakan dan hasil yang terjadi tidak dapat diketahui sebelum percobaan tersebut dilakukan, seperti contohnya: Seorang Salesman menjual produknya kepada konsumen. Aktivitas ini memiliki dua sifat dari percobaan random, yaitu: terjadi kemungkinan perkiraan produk terjual/tidak dan produk yang terjual tidak dapat diketahui sebelum dilakukan aktivitas penjualan produk oleh Salesman kepada konsumen. Percobaan Random mudah diketahui dan sering dilakukan dalam aktivitas sehari-hari. Disamping itu, Ilmu Statistika banyak dikembangkan pada aktivitas yang tergolong Random.

Berdasarkan Percobaan Random, diperoleh dua komponen, yaitu: Ruang Sampel dan Event. Ruang Sampel atau Sample Space (Ω atau S) adalah himpunan semua hasil yang mungkin terjadi dalam percobaan random, sedangkan Peristiwa/Kejadian atau Event (A, B, C, …, Z) merupakan himpunan bagian dari Ruang Sampel[2]. Sebagai contoh, tiga mahasiswa memprogram matakuliah Statistika Elementer. Ada kemungkinan ketiga mahasiswa tersebut Lulus (L) atau Tidak Lulus (T). Aktivitas ini dapat diidentifikasi sebagai Percobaan Random. Ruang Sampel dari perobaan ini adalah Ω = {LLL, LLT, LTL, TLL, TTL, TLT, LTT, TTT} dengan dimisalkan L = Lulus dan T = Tidak Lulus. Berikut diberikan contoh beberapa Event dari pecobaan ini:

  1. Semua mahasiswa lulus, yaitu: A = {LLL} karena A himpunan bagian dari Ω.
  2. Paling tidak ada 2 mahasiswa yang lulus, yaitu: B = {LLL, LLT, LTL, TLL} karena B himpunan bagian dari Ω.
  3. Jika diberikan Ω sebagai himpunan bagian dari Ω, maka Ω adalah suatu event. Sebagai contoh, mahasiswa yang lulus ada 3 atau 2 atau 1 atau 0 , yaitu: C = {LLL, LLT, LTL, TLL, TTL, TLT, LTT, TTT} = Ω.
  4. Jika diberikan Ø atau { } sebagai Null Set (Himpunan Kosong) atau himpunan yang tidak punya anggota, maka Ø dapat menjadi suatu event. Sebagai contoh, mahasiswa yang lulus ada 4 (padahal mahasiswa yang ada di Ruang Sampel cuma 3), yaitu: D = { } atau Ø.

Definisi Probabilitas Klasik.

Probabilitas adalah suatu konsep umum yang dapat didefinisikan sebagai kesempatan dari suatu kejadian yang terjadi[1]. Diberikan suatu Percobaan Random dengan Ruang Sampel Ω dan A adalah himpunan bagian dari Ω. Probabilitas dari event A dituliskan P(A) didefinisikan sebagai

Probabilitas ini disebut sebagai Probabilitas Klasik yang mana informasinya diberikan berdasarkan sampel. Sebagai contoh, diberikan contoh event sebelumnya.

  1. Probabilitas semua mahasiswa lulus.
  2. Probabilitas paling tidak ada 2 mahasiswa yang lulus.
  3. Probabilitas mahasiswa yang lulus ada 3 atau 2 atau 1 atau 0.
  4. Probabilitas mahasiswa yang lulus ada 4.

Berikut diberikan Aturan-aturan Probabilitas, antara lain:


Aturan-aturan dalam Probabilitas.

Aturan Komplemen dalam Probabilitas diberikan bahwa Komplemen dari A dengan mempertimbangkan Ruang Sampel Ω (disimbolkan AC) adalah himpunan bagian dari semua elemen Ruang Sampel Ω yang bukan kejadian A[2].
Aturan Penambahan dalam Probabilitas diberikan[1] sebagai berikut:

  1. Kejadian saling asing (mutually exclusive) adalah dua kejadian yang tidak dapat terjadi pada waktu yang sama. Secara matematis, misalkan kejadian pertama adalah A dan kejadian kedua adalah B, maka probabilitasnya adalah P(A dan B) = 0. Sedangkan, Kejadian tidak saling asing (non mutually exclusive) berlaku P(A dan B) ≠ 0.
  2. Ketika dua kejadian A dan B adalah mutually exclusive, probabilitas bahwa A atau B akan terjadi adalah P(A atau B) = P(A U B) = P(A) + P(B). Sebagai contoh, suatu desa memiliki 9 kedai kopi, yaitu 3 Kedai Kopi Tubruk, 2 Kedai Kopi Luwak, dan 4 Kedai Kopi Arang. Jika Budi memilih satu kedai secara acak untuk membeli kopi, maka probabilitas bahwa Budi memilih untuk membeli Kopi Tubruk atau Kopi Arang adalah P(Kopi Tubruk atau Kopi Arang) = P(Kopi Tubruk) + P(Kopi Arang) = 3/9 + 4/9 = 7/9. Contoh kasus ini tergolong kasus mutually exclusive karena tidak ada kemungkinan event atau kejadian Budi memilih datang ke Kedai Kopi Tubruk dan ke Kedai Kopi Arang secara bersamaan.
  3. Ketika dua kejadian A dan B non mutually exclusive, probabilitas bahwa A atau B akan terjadi adalah P(A atau B) = P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A dan B).

    Sebagai contoh, Dalam unit rumah sakit terdapat 8 nurses dan 5 physicians. Ada 7 nurses dan 3 physicians yang perempuan. Jika seorang staf dipilih, maka probabilitas bahwa dipilih seorang nurse atau seorang pria adalah.

    P(nurse atau Pria) = P(nurse) + P(Pria) – P(nurse dan Pria)
    P(nurse atau Pria) = 8/13 + 3/13 – 1/13 = 10/13 .
    Contoh kasus ini tergolong kasus non mutually exclusive karena ada kemungkinan event atau kejadian terpilih seorang nurse dan pria.
  4. Ketika tiga kejadian A, B, dan C mutually exclusive, probabilitas bahwa A atau B atau C akan terjadi adalah P(A atau B atau C) = P(A U B U C) = P(A) + P(B) + P(C).
  5. Ketika tiga kejadian A, B, dan C non mutually exclusive, probabilitas bahwa A atau B atau C akan terjadi adalah P(A atau B atau C) = P(A U B U C) = P(A) + P(B) + P(C) – P(A dan B) – P(A dan C) – P(B dan C) + P(A dan B dan C) .

Aturan Perkalian dalam Probabilitas[1] adalah:

  1. Kejadian saling bebas (independent) adalah suatu kejadian yang tidak saling mempengaruhi antara kejadian yang satu dengan yang lain. Secara matematis misalkan diberikan kejadian A dan B, probabilitasnya dapat dirumuskan sebagai P(A dan B) = P(A ∩ B) = P(A) . P(B) . Sebagai contoh, kartu pertama diperoleh dari suatu dek kartu setelah diacak kemudian kartu kedua diperoleh dari dek kartu tersebut setelah diacak lagi. Probablitas mendapatkan kartu queen dan kartu ace adalah P(queen dan ace) = P(queen) . P(ace) = 4/52 + 4/52 = 8/52. Contoh kasus ini tergolong kasus independent karena kejadian muncul kartu ace tidak dipengaruhi oleh kartu queen yang mana setelah pengambilan kartu pertama dek kartu diacak lagi untuk pengambilan kartu kedua.
  2. Kejadian tidak saling bebas (dependent) berlaku P(A dan B) = P(A ∩ B) = P(A) . P(B|A) . Sebagai contoh, Perusahaan asuransi WW menemukan bahwa 53% penduduk kota memiliki asuransi Rumah (H) kepada perusahaan. Dari klien ini, 27% penduduk juga memiliki asuransi Mobil (A) kepada perusahaan. Jika seorang penduduk dipilih secara acak, maka probabilitas bahwa seorang penduduk memiliki asuransi Rumah dan asuransi Mobil adalah P(H dan A) = P(H) . P(A|H) = 53% . 27% = 14,13% . Contoh kasus ini tergolong kasus dependent karena persentase penduduk yang memiliki asuransi Mobil diketahui dari penduduk yang memiliki asuransi Rumah, sehingga ada pengaruh antara penduduk kota memiliki asuransi Rumah (H) dan penduduk kota memiliki asuransi Mobil (A).

Aturan Menghitung.

Untuk mengetahui banyaknya semua hasil yang mungkin terjadi dalam suatu barisan kejadian, diberikan ketentuan menghitung dengan tiga aturan[1], yaitu:

  1. Aturan Menghitung Fundamental.
    Dalam barisan n kejadian yang mana kejadian pertama memiliki k1 kemungkinan, kejadian kedua memiliki k2 kemungkinan, kejadian ketiga memiliki k3 kemungkinan, dan seterusnya hingga banyaknya total probabilitas dari barisan akan menjadi k1 . k2 . k3 . … . kn . Sebagai contoh, dilakukan percobaan melempar satu koin logam dan satu mata dadu. Kemungkinan hasil yang mungkin untuk satu koin adalah Head (H) atau Tail (T), sedangkan Kemungkinan hasil yang mungkin untuk satu mata dadu adalah 1, 2, 3, 4, 5, atau 6. Banyaknya hasil yang mungkin untuk barisan kejadian dihitung dengan Diagram Pohon Lengkap berikut:

    Oleh karena koin menghasilkan 2 kemungkinan dan mata dadu menghasilkan 6 kemungkinan, maka banyaknya semua hasil yang mungkin terjadi dalam suatu barisan kejadian adalah 2 . 6 = 12 kemungkinan. Diagram Pohon ini dapat juga menggambarkan barisan kejadian yang terjadi, yaitu (H,1) , (H,2) , (H,3) , (H,4) , (H,5) , (H,6) , (T,1) , (T,2) , (T,3) , (T,4) , (T,5) , dan (T,6). Untuk memperdalam pemahaman, diberikan contoh kedua. Suatu produsen cat berharap untuk memproduksi beberapa cat berbeda. Kategorinya adalah Warna (Merah, Biru, Putih, Hitam, Hijau, Coklat, atau Kuning), Tipe (Latex atau Oil), Tekstur (Flat, Semigloss, dan High Gloss), dan Kegunaan (Outdoor atau Indoor). Oleh karena ada 7 Warna pilihan, 2 Tipe pilihan, 3 Tekstur pilihan, dan 2 Kegunaan pilihan, maka banyaknya perbedaan macam cat yang dapat dibuat jika produsen memilih satu warna, satu tipe, satu tekstur, dan satu kegunaan adalah 7 . 2 . 3 . 2 = 84 kemungkinan. Sebagai tambahan materi, diberikan Notasi Faktorial yang menggunakan tanda seru untuk suatu hitungan n, yaitu

    Sebagai contoh, diberikan 5! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120. Notasi Faktorial ini digunakan pada Aturan Permutasi dan Aturan Kombinasi.
  2. Aturan Permutasi.
    Permutasi adalah suatu susunan dari n obyek didalam suatu urutan tertentu dengan menggunakan r obyek pada suatu waktu. Hal ini dinotasikan dengan nPr dan dirumuskan sebagai

    Sebagai contoh, Direktur periklanan televisi memiliki 5 iklan (A, B, C, D, dan E) yang akan ditampilkan dalam program acaranya. Jika dia memilih 1 iklan untuk sesi pembukaan, 1 iklan untuk sesi pertengahan, dan 1 iklan untuk sesi penutupan. Banyaknya kemungkinan barisan iklan yang ditampilkan dalam program acara tersebut adalah

    Kasus ini tergolong kasus Permutasi karena tiga iklan yang sama akan ditampilkan dengan barisan berbeda menghasilkan tampilan/kondisi/keuntungan yang berbeda, misalkan iklan yang tampil (A,B,C) ≠ (A,C,B) ≠ (B,A,C) ≠ (B,C,A) ≠ (C,A,B) ≠ (C,B,A). Untuk menambah pemahaman kasus Permutasi, diberikan contoh kedua tentang pemilihan pengurus kelas. Dari 5 siswa (Budi, Hadi, Rudi, Fedi, dan Dedi) akan dipilih 2 siswa untuk menjadi pengurus kelas (Ketua dan Bendahara). Banyaknya kemungkinan siswa menjadi pengurus kelas adalah

    Kasus ini tergolong kasus Permutasi karena dua siswa akan merasakan tanggung jawab yang berbeda ketika mereka menjadi Ketua atau Bendahara, misalkan tanggung jawab Budi menjadi Ketua dan Hadi menjadi Bendahara tidak sama dengan tanggung jawab Hadi menjadi Ketua dan Budi menjadi Bendahara, (Budi,Hadi) ≠ (Hadi,Budi).
  3. Aturan Kombinasi.
    Kombinasi adalah suatu susunan dari r obyek yang dipilih dari n obyek. Kombinasi disimbolkan oleh nCr dan dirumuskan sebagai

    Sebagai contoh, Budi diberikan kemudahan untuk mengerjakan 5 soal dari 10 soal ujian. Banyaknya kemungkinan Budi memilih soal yang dikerjakan adalah

    Kasus ini tergolong kasus Kombinasi karena Budi akan mengerjakan soal yang sama meskipun urutan mengerjakannya berbeda, misalkan Budi mengerjakan soal nomer 2, 3, 5, dan 7 akan sama ketika Budi mengerjakan soal nomer 7, 5, 3, dan 2; (2,3,5,7) = (7,5,3,2). Untuk menambah pemahaman kasus Kombinasi, diberikan contoh kedua tentang pemilihan kelompok kelas. Dipilih 3 orang untuk kelompok A dari 10 orang didalam kelas. Banyaknya kemungkinan 3 orang terpilih dalam kelompok A adalah

    Kasus ini tergolong kasus Kombinasi karena tiga orang yang terpilih untuk kelompok A tidak dipertimbangkan urutan terpilihnya, misalkan terpilih Budi, Hadi, dan Dedi samahalnya dengan terpilih Dedi, Budi, dan Hadi; (Budi,Hadi,Dedi) = (Dedi,Budi,Hadi).

Definisi Probabilitas Bersyarat.

Jika peristiwa B terjadi dipengaruhi terjadinya peristiwa A, maka probabilitas demikian dinamakan probabilitas bersyarat yang disimbolkan P(B|A) dan secara matematis didefinisikan sebagai[2]

Jika peristiwa A dan peristiwa B saling bebas (independent) maka P(B|A) = P(B).
Sebagai contoh, diberikan contoh yang berkaitan dengan contoh sebelumnya. Perusahaan asuransi WW menemukan bahwa 53% penduduk kota memiliki asuransi Rumah (H) kepada perusahaan, serta 15% penduduk memiliki asuransi Rumah dan tidak punya asuransi Mobil. Untuk menentukan target marketing, diduga probabilitas seorang penduduk tidak memiliki asuransi mobil (AC) dari penduduk yang sudah punya asuransi Rumah adalah.

Aturan Perkalian secara umum dapat diperluas untuk n kejadian[2]. Misalkan terdapat kejadian A1, A2, …, An yang tidak saling bebas (dependent) maka probabilitas kejadian A1 dan A2 dan … An dapat terjadi dalam

Sedangkan, misalkan terdapat kejadian A1, A2, …, An yang saling bebas (independent) maka probabilitas kejadian A1 dan A2 dan … An dapat terjadi dalam


Aturan Bayes.

Misalkan ruang sampel (S) dipartisi menjadi k himpunan yang asing. Himpunan k akan dinyatakan dengan H1, H2, …, Hk yang menyatakan himpunan k kemungkinan dari hasil yang mungkin. Misalkan A menyatakan bahwa kejadian terjadi dalam ruang sampel S sebagaimana gambar berikut.

Dari gambar ini, ditunjukkan dengan jelas peristiwa atau kejadian A merupakan gabungan dari peristiwa-peristiwa yang saling asing H1 ∩ A , H2 ∩ A , H3 ∩ A , …, Hk ∩ A . Sehingga

Dari formula ini maka aturan bayes didefinisikan sebagai berikut[2]:

Sebagai contoh, terdapat tiga orang calon (Budi, Rudi, dan Hadi) yang akan dipilih untuk menjadi ketua Koperasi. Probabilitas Budi terpilih adalah 50%, Rudi adalah 70%, dan Hadi adalah 60%. Jika Budi terpilih, maka probabilitas kenaikan iuran anggota akan menjadi 30%. Jika Rudi atau Hadi terpilih, maka probabilitas kenaikan iuran anggota akan menjadi 40%. Jika iuran anggota jadi dinaikkan, maka berapakah probabilitas Budi terpilih menjadi ketua Koperasi adalah: Misalkan A adalah kejadian kenaikan iuran anggota; serta H1, H2, H3 masing-masing adalah kejadian Budi, Rudi, dan Hadi terpilih, maka P(A) = P(H1).P(A|H1) + P(H2).P(A|H2) + P(H3).P(A|H3) = 0,5(0,3) + 0,7(0,4) + 0,6(0,4) = 0,67 ; sehingga


REFERENSI

[1] Bluman, A.G., (2012), Elementary Statistics: A Step By Step Approach, Eighth Edition, New York: McGraw-Hill.
[2] Walpole, R.E., Myers, R.H., Myers, S.L., and Ye, K., (2012), Probability and Statistics for Engineers and Scientists, Ninth Edition, Boston: Pearson Education.
[3] Lefebvre, M., (2006), Applied Probability and Statistics, New York: Springer.


<--DOWNLOAD_FILE_PENGANTAR_PROBABILITAS-->



Tulisan Sebelumnya ->Statistika Deskriptif

Tulisan Berikutnya ->Distribusi Variabel Acak DIskrit

0 komentar:

Poskan Komentar