Jumat, 20 Juni 2014

Distribusi Variabel Acak Diskrit

Pada penulisan Kelima tentang Statistika Elementer ini, penulis akan memberikan bahasan mengenai Distribusi Variabel Acak Diskrit kepada para pembaca untuk pemahaman dan contoh soal mengenai Variabel Acak Diskrit dan fungsi distribusinya. Pada penulisan ini, Distribusi Variabel Acak Diskrit yang diberikan adalah Distribusi Binomial, Multinomial, Hipergeometrik, dan Poisson.


Variabel Acak Diskrit.

Variabel Acak adalah suatu fungsi yang memetakan setiap anggota Ruang Sampel S ke bilangan Real[3]. Dalam statistika, variabel acak disimbolkan dengan huruf-huruf kapital misalkan X, Y, Z, dll. Variabel acak yang mampu menjalani bilangan bulat adalah Variabel Acak Diskrit, sedangkan variabel acak yang mampu menjalani bilangan real adalah Variabel Acak Kontinu. Misalkan X adalah variabel acak diskrit maka fungsi kepadatan probabilitas (probability density function, PDF) dapat didefinisikan sebagai

Dengan kata lain, fungsi pX(x) adalah fungsi distribusi probabilitas dari X untuk variabel acak diskrit. PDF dari variabel acak diskrit X harus memenuhi sifat-sifat berikut:

Misalkan X merupakan variabel acak diskrit maka fungsi kepadatan kumulatif (cumulative density function, CDF) dapat didefinisikan sebagai.

Dengan kata lain, fungsi FX(x) adalah fungsi distribusi dari X untuk variabel acak diskrit. CDF dari variabel acak diskrit X dapat diilustrasikan sebagai berikut.

Jika pX(x) merupakan PDF dari variabel acak diskrit X, maka terdapat relasi antara PDF dan CDF, yaitu

Sebagai tambahan, mean dan varian dari variabel acak diskrit masing-masing adalah[1]

dan

Contohnya, dalam suatu keluarga yang memiliki dua anak, distribusi probabilitas dari banyaknya anak yang terlahir perempuan akan mengikuti ketentuan ini

Nilai mean dan varian dari banyaknya anak yang terlahir perempuan akan dihitung sebagai berikut:
Misalkan X adalah banyaknya anak yang sukses terlahir perempuan, maka

dan

Jadi, diperoleh mean dan varian dari banyaknya anak yang terlahir perempuan pada suatu keluarga yang memiliki dua anak masing-masing adalah 1 dan 0,5 .


Distribusi Variabel Acak Diskrit.

Pada penulisan ini, diberikan 4 macam distribusi variabel acak diskrit pilihan yang biasa digunakan, yaitu:

  1. Distribusi Binomial
  2. Distribusi Multinomial
  3. Distribusi Hipergeometrik
  4. Distribusi Poisson

Distribusi Binomial.

Sebelum membahas tentang distribusi Binomial, penulis akan menjabarkan review mengenai Distribusi Bernoulli. Distribusi Bernoulli adalah distribusi probabilitas yang dihasilkan dari 2 outcome/kejadian dalam suatu percobaan, yaitu: sukses (x = 1) dan gagal (x = 0) dengan probabilitas sukses p dan probabilitas gagal q = 1 – p. Fungsi kepadatan probabilitas (PDF) dari variabel acak X Bernoulli adalah

Pada percobaan Bernoulli, dilakukan perulangan percobaan acak E sebanyak r kali, yaitu E1, E2, ..., Er yang mana merupakan suatu urutan dari percobaan Bernoulli jika[3]:

  1. perulangan bersifat independen.
  2. probabilitas sukses bernilai sama untuk setiap perulangan.

Distribusi Binomial merupakan distribusi probabilitas dari banyaknya outcome/kejadian sukses pada n percobaan Bernoulli[3]. Fungsi kepadatan probabilitas (PDF) dari variabel acak X Binomial dirumuskan sebagai

Sebagai contoh, PDF dari variabel acak binomial dengan n = 4 dan p = 0,5 dapat diilustrasikan sebagai berikut.

Sedangkan, fungsi kepadatan kumulatif (CDF) dari variabel acak X Binomial adalah

Sebagai Contoh, seorang peneliti ingin meneliti obat A untuk penyakit asma. Berdasarkan survey ditemukan lima puluh dari seratus orang yang sembuh dari penyakit asma setelah meminum obat ini. Jika 20 orang penderita asma diambil secara acak dan diberi minum obat A, maka tentukan probabilitas bahwa:

  1. tepat 10 orang yang sembuh.
  2. maksimal 2 orang yang sembuh.

Misalkan X adalah banyak orang yang sembuh penyakit Asma setelah meminum obat A; maka p = 50/100 = 0,50 , q = 1 – p = 1 – 0,50 = 0,50 dan n = 20 , sehingga:

  1. probabilitas tepat 10 orang yang sembuh adalah
  2. probabilitas maksimal 2 orang yang sembuh adalah

Contoh soal ini juga dapat diselesaikan dengan bantuan Tabel Binomial, sehingga:

  1. probabilitas tepat 10 orang yang sembuh diperoleh
  2. probabilitas maksimal 2 orang yang sembuh diperoleh

Sebagai tambahan, nilai mean dan varian dari variabel acak diskrit X berdistribusi Binomial masing-masing adalah[2] μ = np dan σ2 = npq.


Distribusi Multinomial.

Distribusi Multinomial merupakan distribusi probabilitas dari banyaknya outcome/kejadian sukses pada variabel acak diskrit X = {X1, X2, …, Xk} yang berisi kejadian E1, E2, …, Ek dengan probabilitas sukses p1, p2, …, pk. Fungsi kepadatan probabilitas (PDF) dari variabel acak X Multinomial adalah

Sebagai Contoh, seorang manager kedai kopi menemukan bahwa probabilitas pengujung membeli 0, 1, 2, atau 3 cangkir kopi masing-masing adalah 0,3 , 0,5 , 0,15 , dan 0,05 . Jika ada 8 pengujung yang masuk kedai, maka tentukan probabilitas bahwa 2 pengujung akan memesan minuman lain, 4 pengujung akan memesan 1 cangkir kopi, 1 pengujung akan memesan 2 cangkir, dan 1 pengujung akan memesan 3 cangkir kopi.
Misalkan X adalah banyaknya pengujung yang memesan cangkir kopi dengan x1 = 2, x2 = 4, x3 = 1, dan x4 = 1; dengan p1 = 0,3 , p2 = 0,5 , p3 = 0,15 , p4 = 0,05 , dan n = 8 , maka probabilitas bahwa 2 pengujung akan memesan minuman lain, 4 pengujung akan memesan 1 cangkir kopi, 1 pengujung akan memesan 2 cangkir, dan 1 pengujung akan memesan 3 cangkir kopi adalah

Sebagai tambahan, distribusi Multinomial sama dengan distribusi Binomial, tetapi distribusi Multinomial memiliki keuntungan lebih untuk menghitung probabilitas ketika ada lebih dari dua outcome/kejadian untuk setiap percobaan didalam eksperimen. Distribusi Multinomial merupakan suatu distribusi umum, sedangkan distribusi Binomial adalah suatu kasus khusus dari distribusi Multinomial[1].


Distribusi Hipergeometrik.

Distribusi Hipergeometrik merupakan distribusi probabilitas dari banyaknya outcome/kejadian sukses pada populasi sebesar N yang memiliki m elemen dengan kejadian sukses dan N – m elemen lainnya dengan kejadian gagal yang mana percobaan ini dilakukan pada n sampel. Fungsi kepadatan probabilitas (PDF) dari variabel acak X Hipergeometrik dirumuskan

Sedangkan, fungsi kepadatan kumulatif (CDF) diskrit dari variabel acak X Hipergeometrik adalah

Sebagai contoh, suatu panitia pemilihan dibentuk berdasarkan 6 orang yang diambil secara acak dari 15 orang yang mendaftar. Enam puluh persen diantaranya adalah wanita. Jika X variabel acak yang menyatakan banyaknya wanita yang terpilih, maka dihitung probabilitas tepat 2 wanita dalam panitia tersebut.
Misalkan X adalah banyaknya wanita yang terpilih dalam kepanitiaan, maka x = 2, n = 6 , N = 15, dan m = 60% dari N = (0,60)(15) = 9 , sehingga probabilitas tepat 2 wanita dalam panitia tersebut adalah

Sebagai tambahan, nilai mean dan varian dari variabel acak diskrit X berdistribusi Hipergeometrik masing-masing adalah[2]

dan

Ketika n/N ≤ 0,05 distribusi Hipergeometrik dapat didekati dengan distribusi Binomial dengan parameter n dan p = m/N. Selanjutnya, nilai mean dan varian dari variabel acak diskrit X berdistribusi Hipergeometrik masing-masing adalah μ = np dan σ2 = npq .


Distribusi Poisson.

Distribusi Poisson merupakan distribusi probabilitas dari banyaknya outcome/kejadian sukses X yang terjadi selama interval waktu atau area tertentu[2]. Interval pengamatan ini dapat berupa waktu atau ruang 2D/3D, contohnya:

  • waktu (berapa banyak pelanggan mengunjungi kantor pos dalam 1 hari),
  • ruang 2D (menghitung banyaknya cacat pada cat mobil A),
  • ruang 3D (menghitung banyaknya ikan di satu kilometer kubik laut), dll.

Karakteristik percobaan Poisson diberikan sebagai berikut[2]:

  1. Banyaknya outcome/kejadian terjadi dalam interval waktu atau area tertentu yang independen.
  2. Probabilitas bahwa suatu outcome/kejadian tunggal akan terjadi selama interval waktu yang pendek atau area yang kecil secara proporsional dan tidak tergantung pada banyaknya outcome/kejadian pada interval waktu atau area yang lain.
  3. Probabilitas bahwa lebih dari satu outcome/kejadian akan terjadi pada interval waktu yang pendek atau area yang kecil dapat diabaikan.

Nilai mean banyaknya outcome/kejadian dihitung dari μ = λ t dengan λ adalah derajat terjadinya outcome/kejadian dan t adalah ketentuan waktu, jarak, area, atau volume yang menjadi perhatian. Fungsi kepadatan probabilitas (PDF) dari variabel acak X Poisson dirumuskan

Sedangkan, fungsi kepadatan kumulatif (CDF) dari variabel acak X Poisson adalah

Sebagai contoh, mean banyaknya panggilan ke call center dalam dua hari adalah 6 panggilan. Dihitung probabilitas bahwa:

  1. Minimal ada dua panggilan dalam dua hari.
  2. Ada tujuh panggilan dalam empat hari.
  3. Maksimum ada satu panggilan dalam satu hari.

Misalkan X adalah banyaknya panggilan ke call center dan μ adalah mean banyaknya panggilan ke call center dalam dua hari (t = 2), maka μ sama dengan 6, sehingga:

  1. Jika mean banyaknya panggilan ke call center diberikan dalam dua hari, maka Probabilitas minimal ada dua panggilan dalam dua hari akan bernilai
  2. Jika mean banyaknya panggilan ke call center diberikan dalam dua hari, maka Probabilitas ada tujuh panggilan dalam empat hari akan bernilai
  3. Jika mean banyaknya panggilan ke call center diberikan dalam dua hari, maka Probilitas maksimum ada satu panggilan dalam satu hari akan bernilai

Contoh soal ini juga dapat diselesaikan dengan bantuan Tabel Poisson, sehingga:

  1. Probabilitas minimal ada dua panggilan dalam dua hari.
  2. Probabilitas ada tujuh panggilan dalam empat hari.
  3. Probilitas maksimum ada satu panggilan dalam satu hari.

Sebagai tambahan, distribusi Poisson dapat diterapkan pada distribusi Binomial ketika nilai n sangat besar (n mendekati infinity) dan p sangat kecil (p mendekati 0)[2], dimana parameter μ = np. Selanjutnya, nilai mean dan varian dari variabel acak diskrit X berdistribusi Poisson adalah sama, yaitu μ = σ2 = λ t.


REFERENSI

[1] Bluman, A.G., (2012), Elementary Statistics: A Step By Step Approach, Eighth Edition, New York: McGraw-Hill.
[2] Walpole, R.E., Myers, R.H., Myers, S.L., and Ye, K., (2012), Probability and Statistics for Engineers and Scientists, Ninth Edition, Boston: Pearson Education.
[3] Lefebvre, M., (2006), Applied Probability and Statistics, New York: Springer.


<--DOWNLOAD_FILE_DISTRIBUSI_VARIABEL_ACAK_DISKRIT-->


<--DOWNLOAD_TABEL:_DISTRIBUSI_BINOMIAL_&_POISSON-->



Tulisan Sebelumnya ->Pengantar Probabilitas

Tulisan Berikutnya ->Distribusi Variabel Acak Kontinu

0 komentar:

Poskan Komentar