Sabtu, 13 Juli 2013

Analysis of Variance (ANOVA)

ANOVA merupakan analisis statistik yang digunakan untuk analisis varian. ANOVA adalah suatu metode untuk menguraikan keragaman total data menjadi komponen-komponen yang mengukur berbagai sumber keragaman. ANOVA dikembangkan oleh Ronald Fisher pada tahun 1918 yang berusaha untuk menganalisis keragaman dari suatu
respons dan membagi menjadi bagian-bagian yang berhubungan dengan sumber keragaman yang diketahui dan sisanya dikaitkan dengan galat acak (random error). Sumber keragaman yang diketahui tersebut dikaitkan dengan variabel-variabel bebasnya, yaitu faktor-faktor yang dicobakan (perlakuan). Uji perbandingan beberapa perlakuan tersebut menggunakan distribusi F.

Penetapan Hipotesis Nol (H0) dan Hipotesis Alternatif (H1)  secara umum
   H0 : Tidak terdapat perbedaan rata-rata respon pada semua perlakuan
   H1 : Minimal ada sepasang perbedaan rata-rata respon pada semua perlakuan

Sebagai contoh, penulis menggambarkan dalam suatu percobaan sampel bandeng yang diberikan tiga kolam perlakuan, yaitu non-enzim, enzim A, dan enzim B; kemudian skor kualitas bandeng setiap kolam dicatat. Peneliti ingin menguji hipotesis penelitian (hipotesis alternatif, H1) bahwa minimal ada sepasang perbedaan rata-rata skor kualitas bandeng pada ketiga kolam perlakuan tersebut. Selanjutnya, penulis bisa mengetahui sampel bandeng yang paling unggul berasal dari kolam perlakuan yang mana.

Ketika uji perbandingan rata-rata melibatkan paling sedikit tiga kelompok data, maka dapat digunakan ANOVA. ANOVA dengan satu faktor disebut One-Way ANOVA; ANOVA dengan dua faktor disebut Two-Way ANOVA; dan ANOVA dengan dua faktor dengan pengamatan / ulangan sebanyak n disebut Two-Way ANOVA dengan Interaksi. ANOVA diterapkan hanya pada penelitian dengan satu respon, sedangkan jika penelitian memiliki respon lebih dari satu dan saling berhubungan, maka pengujian menggunakan Multivariate Analysis of Variance (MANOVA).

One-way ANOVA
Misalkan terdapat k (k ≥ 3) populasi diambil sampel berukuran ni dari masing-masing populasi dengan i = 1,2,…,k. Biasanya k populasi tersebut diklasifikasikan menurut perlakuan yang berbeda.
Hipotesis yang akan diuji adalah.
   H0 : µ1 = µ2 = … = µk
   H1 : Minimal ada sepasang µi , i = 1,2,…,k yang berbeda
            atau
   H0 : Tidak ada perbedaan rata-rata respon pada k perlakuan
   H1 : Minimal ada sepasang perbedaan rata-rata respon pada k perlakuan
Misalkan xij adalah pengamatan ke-j dari populasi ke-i , dan data disusun seperti tabel berikut:

Populasi / Perlakuan

1
2
i
k
Pengamatan
atau
Ulangan
x11
x21
xi1
xk1

x12
x22
xi2
xk2
.
.
.
.
.
.
.
.
x1n1
x2n2
xini
xknk
Total
T1.
T2.
Ti.
Tk.
T..
Ukuran sampel
n1
n2
ni
nk
N
Setiap pengamatan dapat dituliskan dalam bentuk:
            xij = µi + εij              ;           i = 1,2,…,dan  j = 1,2,…,ni
                        xij = µ + τi + εij    ;        εij ~ IIDN(0,σ2)
Keterangan:
            xij  =  pengamatan ke-j dari populasi ke-i
            µ=  rata-rata populasi atau perlakuan ke-i
            µ   =  rata-rata umum
            τi   =  pengaruh populasi atau perlakuan ke-i
            εij  =  pengaruh error ke-j yang mendapatkan perlakuan ke-i
Untuk menguji hipotesis nol bahwa Tidak terdapat perbedaan rata-rata respon pada k perlakuan dapat digunakan tabel ANOVA berikut ini.
Sumber variasi
derajat bebas
Jumlah Kuadrat (JK)
Kuadrat Tengah (KT)
F hitung
Perlakuan
k – 1
JKP
JKP/(k – 1)
KTP/KTE
Error (Galat)
Nk
JKE
JKE/(Nk)
Total
N – 1
JKT
Rumusan:
Kriteria penolakan:
            H0 ditolak jika Fhitung Ftabel = F(α, v1, v2);  v1 = k – 1;  v2 = N – k .

Two-way ANOVA
Pada rancangan percobaaan dengan ANOVA jenis ini, setiap kategori mempunyai banyak blok yang sama, sehingga jika banyak kolom = k dan banyak baris/blok = r , maka banyak data = N = r * k. Two-way ANOVA Tanpa Interaksi memiliki dua faktor (faktor terdiri atas beberapa perlakuan) dengan satu Pengamatan / Ulangan.
Hipotesis yang akan diuji adalah.
1.      H0 : α1 = α 2 = … = αi = 0
      H1 : Minimal ada sepasang αi ≠ 0
            atau
      H0 : Tidak terdapat perbedaan rata-rata respon pada k perlakuan (faktor I)
      H1 : Minimal ada sepasang perbedaan rata-rata respon pada k perlakuan (faktor I)
2.      H0 : β1 = β2 = … = βk
      H1 : Minimal ada sepasang βi ≠ 0
            atau
      H0 : Tidak terdapat perbedaan rata-rata respon pada k perlakuan (faktor II)
      H1 : Minimal ada sepasang perbedaan rata-rata respon pada k perlakuan (faktor II)
Misalkan xij adalah data pada baris ke-i dan kolom ke-j , dan data disusun seperti tabel berikut:

Perlakuan untuk faktor ke-1
Total Kolom
Perlakuan
untuk
faktor
ke-2

1
2
j
k
1
x11
x12
x1j
x1k
T1.
2
x21
x22
x2j
x2k
T2.
.
.
.
.
.
.
i
xi1
xi2
xij
xik
Ti.
.
.
.
.
.
.
r
xr1
xr2
xrj
xrk
Tr.
Total Baris
T.1
T.2
T.j
T.k
T..
Setiap pengamatan dapat dituliskan dalam bentuk:
            xij = µij + εij             ;           i = 1,2,…,dan  j = 1,2,…,k
            xij = µ + αi + βj + εij            ;           εij ~ IIDN(0,σ2)
Keterangan:
            xij  =  data pada baris ke-i dan kolom ke-j
            µij  =  rata-rata pada baris ke-i dan kolom ke-j
            µ   =  rata-rata umum
            αi   =  pengaruh perlakuan ke-i pada faktor ke-1
            βj   =  pengaruh perlakuan ke-j pada faktor ke-2
            εij  =  pengaruh error pada baris ke-i dan kolom ke-j
Tabel ANOVA dua arah tanpa interaksi sebagai berikut.
Sumber variasi
derajat bebas
Jumlah Kuadrat (JK)
Kuadrat Tengah (KT)
F hitung
Nilai Tengah Baris
r – 1
JKB
JKB/(r – 1)
KTB/KTG
Nilai Tengah Kolom
k – 1
JKK
JKK/(k – 1)
KTK/KTG
Error (Galat)
(r – 1)( k – 1)
JKG
JKG/((r – 1)( k – 1))
Total
rk – 1
JKT
Rumusan:
Kriteria penolakan:
1.      H0 ditolak jika Fhitung(pertama) Ftabel = F(α, v1, v2);  v1 = r – 1;  v2 = (r – 1)( k – 1) .
2.      H0 ditolak jika Fhitung(kedua) Ftabel = F(α, v1, v2);  v1 = k – 1;  v2 = (r – 1)( k – 1) .

Pengujian asumsi ANOVA, meliputi: pengujian homogenitas varian yang dapat diuji dengan uji Levene atau uji Brown-Forsythe.  Asumsi kedua adalah Normalitas distribusi populasi yang dapat diuji dengan menggunakan uji Anderson-Darling, uji Shapiro-Wilk, atau uji Kolmogorov-Smirnov.  Asumsi Ketiga adalah asumsi independensi yang dapat ditentukan dari desain studi. 

REFERENSI
Walpole. RE, 1995, Pengantar Statistika, Edisi III, Gramedia, Jakarta.

0 komentar:

Poskan Komentar